Question

已知：如圖，△ABC是邊長3cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動．設點P的運動時間為t（s），設四邊形APQC的面積為y（cm²）
（1）求y與t的關系式；
（2）如果△PBQ是直角三角形，求：四邊形APQC的面積；
（3）是否存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二？如果存在，求出相應的t值；不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過P作PM⊥BC于M，過A作AD⊥BC于D，根據等邊三角形性質求出求出BD，根據勾股定理求出AD，求出△ABC的面積，根據sin60°=，求出PM，求出△PBQ的面積，相減即可求出答案；
（2）分為兩種情況：①當∠PQB=90°時，根據cosB=，代入求出t；②當∠QPB=90°時，根據cosB=，代入求出t，分別把t的值代入（1）求出的函數解析式，即可求出答案；
（3）假設存在，根據題意得出方程t²-t+=××3×，求出方程的b²-4ac，看看是否大于等于0，即可根據判別式判斷方程是否有解，根據方程解得情況判斷即可．
解答：（1）解：過P作PM⊥BC于M，過A作AD⊥BC于D，
∵三角形ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，BD=CD=，
由勾股定理得：AD=，
∵sin60°=，
∴=，
∴PM=（3-t），
∴y=S_△ABC-S_△PBQ，
=BC×AD-BQ×PM，
=×3×-×t×（3-t），
=t²-t+，
即y=t²-t+；

（2）解：分為兩種情況：①如圖，當∠PQB=90°時，cosB=，
=
t=1，
y=×1-×1+=；

②如圖，當∠QPB=90°時，cosB=，

=，
t=2，
y=×4-×2+=；
答：四邊形APQC的面積是；

（3）解：不存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二，
理由是：假設存在t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二，
則t²-t+=××3×，
t²-3t+3=0，
b²-4ac=（-3）²-4×1×3=-3＜0，
此方程無解，
即不存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二．
點評：本題考查的知識點是三角形的面積、等邊三角形的性質、直角三角形性質、勾股定理、函數的解析式等，主要考查學生綜合運用性質進行計算的能力，注意：要進行分類討論．