Question

如圖，客輪沿折線A─B─C從A出發經B再到C勻速航行，貨輪從AC的中點D出發沿某一方向勻速直線航行，將一批物品送達客輪，兩船同時起航，并同時到達折線A─B─C上的某點E處，已知AB=BC=200海里，∠ABC=90°，客輪速度是貨輪速度的2倍．
（1）選擇：兩船相遇之處E點
A、在線段AB上；B、在線段BC上；C、可以在線段AB上，也可以在線段BC上．
（2）求貨輪從出發到兩船相遇共航行了多少海里？

Answer 1

解：（1）B

（2）設貨輪從出發到兩船相遇共航行了x海里，過D點作DF⊥CB于F，連接DE，則DE=x，AB+BE=2x，
∵D點是AC的中點，
∴DF=AB=100，EF=400-100-2x，
在Rt△DFE中，DE²=DF²+EF²，得x²=100²+（300-2x）²，
解得x=200±，
∵200+＞100（舍去），
∴DE=200-．
答：貨輪從出發到兩船相遇共航行了（200-）海里．
分析：（1）連接BD，則△ABD是等腰直角三角形，假設E為AB的中點，有AB=2DE，此時DE最短；假設E點在線段AB上，但不在中點，根據已知客輪速度是貨輪速度的2倍可得AE=2DE，由假設E為AB的中點，有AB=2DE得出AE＞AB，很明顯假設不成立．故E點不在AB上，應該在線段BC上；
（2）設貨輪從出發到兩船相遇共航行了x海里，過D點作DF⊥CB于F，連接DE，則DE=x，AB+BE=2x，根據D點是AC的中點，得DF=AB=100，EF=400-100-2x，在Rt△DFE中，DE²=DF²+EF²，得x²=100²+（300-2x）²解方程求解即可．
點評：當三角形中有中點時，常作三角形的中位線．要熟練掌握勾股定理并能利用它作為相等關系列方程求解．