Question

11．求代數式$\sqrt{{x}^{2}+2x+2}$+$\sqrt{{x}^{2}-10x+34}$的最小值．

Answer 1

分析 首先把$\sqrt{{x}^{2}+2x+2}$+$\sqrt{{x}^{2}-10x+34}$化為$\sqrt{（x+1）^{2}+（0-1）^{2}}$+$\sqrt{（x-5）^{2}+（0-3）^{2}}$，于是得到A（-1，1），B（5，3），作出B（5，3）關于x軸的對稱點B′（5，-3），連接AB′交x軸于點C，則AB′=AC+CB′為所要求的最小值．

解答 解：原式可化為：$\sqrt{{x}^{2}+2x+2}$+$\sqrt{{x}^{2}-10x+34}$=$\sqrt{（x+1）^{2}+（0-1）^{2}}$+$\sqrt{（x-5）^{2}+（0-3）^{2}}$，
設A（-1，1），B（5，3），作出B（5，3）關于x軸的對稱點B′（5，-3），連接AB′交x軸于點C，則AB′=AC+CB′=AB+BC為所要求的最小值，
∵AB′=$\sqrt{（-1-5）^{2}+（1-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴代數式$\sqrt{{x}^{2}+2x+2}$+$\sqrt{{x}^{2}-10x+34}$的最小值=2$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查了函數的最值問題、軸對稱--最短路線問題．解答此題的關鍵是根據代數式$\sqrt{{x}^{2}+2x+2}$+$\sqrt{{x}^{2}-10x+34}$，將問題轉化為：求x軸上一點到（-1，1）以及（5，3）兩點的和的最小值，并且利用了“兩點間線段最短”的知識點．