Question

如圖，在△ABC中，BD=CD，AG平分∠DAC，BF⊥AG，垂足為H，與AD交于E，與AC交于F，過點C的直線CM交AD的延長線于M，且∠EBD=∠MCD，AC=AM．
求證：DE=

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CF．

Answer 1

分析：先證△BED和△CMD全等，推出ED=MD=

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2

EM，再證△AEH和△AFH全等，得到AE=AF，由已知AC=AM，兩式相減即可得到EM=CF，進一步推出答案．

解答：證明：∵△BED和△CMD中

∠EBD=∠MCD BD=DC ∠EDB=∠MDC

∴△BED≌△CMD，
∴ED=MD=

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EM，
又AG平分∠DAC，
∴∠DAG=∠CAG，
∵BF⊥AG，
∴∠AHE=∠AHF=90°，
在△AEH和△AFH中

∠EAH=∠FAH AH=AH ∠AHE=∠AHF

∴△AEH≌△AFH，
∴AE=AF，
又∵AC=AM，
∴AC-AE=AM-AF，
∴EM=CF，
∴DE=

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CF．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的角平分線和高等知識點，解此題的關鍵是證出EM=CF．題型較好，綜合性強．