Question

已知在同一直角坐標系中，直線l：y=x-3k+6與y軸交于點P，M是拋物線C：y=x²-2 （k+2）x+8k的頂點．
（1）求證：當k≠2時，拋物線C與x軸必定交于兩點；
（2）A、B是拋物線c與x軸的兩交點，A、B在y軸兩側，且A在B的左邊，判斷：直線l能經過點B嗎？（需寫出判斷的過程）
（3）在（2）的條件下，是否存在實數k，使△ABP和△ABM的面積相等？如果存在，請求出此時拋物線C的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）列出拋物線的△，用配方法整理得出△＞0即可；
（2）解方程x²-2 （k+2）x+8k=0，得拋物線與x軸兩交點的橫坐標為4，2k，因為A、B在y軸兩側，且A在B的左邊，可知
A（2k，0），B（4，0），將B代入y=x-3k+6中得k=

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，這與A（2k，0）在y軸左邊矛盾，故直線l不可能經過點B；
（3）將拋物線寫成頂點式為y=[x-（k+2）]²-（k-2）²，作MH⊥x軸于H，則MH=（k-2）²，已知OP=-3k+6，當S_△ABP=S_△ABM時，MH=OP，列方程求k即可．

解答：（1）證明：在拋物線C中，
△=4（k+2）²-32k
=4k²-16k+16
=4（k-2）²．
∵當k≠2時，4（k-2）²＞0，
∴方程x²-2（k+2）x+8k=0有兩個不相等的實數根．
∴當k≠2時，拋物線C與x軸必定交于兩點；

（2）解：方程x²-2（k+2）x+8k=0，
得x₁=4，x₂=2k，
∵點A、B在y軸兩側，且A在B的左邊，
∴k＜0，點B（4，0），
把點B（4，0）代入y=x-3k+6，
得k=

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＞0，與“k＜0”不符，
∴直線l不可能經過點B．

（3）存在．
∵y=x²-2（k+2）x+8k
=[x-（k+2）]²-（k-2）²，
作MH⊥x軸于H，則MH=（k-2）²，
∵k＜0，∴-3k+6＞0，
∴OP=-3k+6，
由S_△ABP=S_△ABM，得-3k+6=（k-2）²，
解得k₁=-1，k₂=2（舍去），
∴存在實數k=-1，使得S_△ABP=S_△ABM，
此時，拋物線C的解析式是y=x²-2x-8．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．