Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE=AF．
（1）求證：BE=DF；
（2）連接AC交EF于點O，延長OC至點M，使OM=OA，連接EM，FM，判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）求簡單的線段相等，可證線段所在的三角形全等，即證△ABE≌△ADF；
（2）由于四邊形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD；聯立（1）的結論，可證得EC=CF，根據等腰三角形三線合一的性質可證得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，則EF、AM互相垂直平分，根據對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，即可判定四邊形AEMF是菱形．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）
∴BE=DF；（4分）

（2）解：四邊形AEMF是菱形，理由為：
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的對角線平分一組對角），BC=DC（正方形四條邊相等），
∵BE=DF（已證），
∴BC-BE=DC-DF（等式的性質），即CE=CF，
在△COE和△COF中，
，
∴△COE≌△COF（SAS），
∴OE=OF，又OM=OA，
∴四邊形AEMF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），
∵AE=AF，
∴平行四邊形AEMF是菱形．（8分）
點評：此題主要考查的是正方形的性質、全等三角形的判定和性質及菱形的判定．