Question

如圖，在梯形中ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BE⊥CD于點E，AB=BE．
（1）試證明BC=DC；
（2）若∠C=45°，CD=2，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）過點D作DF⊥BC于F．得到四邊形ABFD是矩形，推出AB=DF=BE，∠DFC=∠BEC=90°證△BEC≌△DFC即可；
（2）根據等腰三角形的性質推出DF=CF，根據勾股定理求出CF=

2

，即可得出答案．

解答：（1）證明：過點D作DF⊥BC于F．
得四邊形ABFD是矩形，
∴AB=DF=BE，∠DFC=∠BEC=90°，
在△DFC和△BEC中

∠DFC=∠BEC ∠C=∠C DF=BE

，
∴△BEC≌△DFC，
∴BC=DC．

（2）解：∵∠DFC=90°，∠C=45°，CD=2，
∴DF=CF，
由勾股定理得：CF²+DF²=CD²=4，
∴CF=

2

，
AD=BF=2-

2

．

點評：本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的性質和判定，直角梯形，勾股定理，垂線等知識點的應用，證兩線段相等可以把兩線段放在兩三角形中，證兩三角形全等．