Question

△ABC是等邊三角形，點D是BC上的一個動點（點D不與點B、C．重合），△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點E作BC的平行線，分別交AB、AC于點F、G，連接BE． 

（1）如圖a所示，當點D在線段BC上時
①求證：△AEB≌△ADC；
②探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形？并說明理由；
（2）如圖b所示，當點D在BC的延長線上時，判斷（1）中的兩個結論是否成立？

Answer 1

分析：（1）①利用有兩條邊對應相等并且夾角相等的兩個三角形全等即可證明△AEB≌△ADC；②四邊形BCGE是平行四邊形，因為△AEB≌△ADC，所以可得∠ABE=∠C=60°，進而證明∠ABE=∠BAC，則可得到EB∥GC又EG∥BC，所以四邊形BCGE是平行四邊形；
（2）當點D在BC的延長線上時，（1）中的兩個結論仍就成立，證明思路同（1）．

解答：證明：（1）①∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
在△AEB和△ADC中，
∵

AE=AD ∠EAB=∠DAC AB=AC

，
∴△AEB≌△ADC（SAS）；
②由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴EB∥GC，
又∵EG∥BC，
∴四邊形BCGE是平行四邊形；

（2）①②都成立，理由如下：
∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
在△AEB和△ADC中，
∵

AE=AD ∠EAB=∠DAC AB=AC

，
∴△AEB≌△ADC（SAS）；
∵△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴EB∥GC，
又∵EG∥BC，
∴四邊形BCGE是平行四邊形．

點評：本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質以及平行四邊形的判定，題目的綜合性不小，難度不大．