Question

如圖，已知⊙O上的三點A、B、C，且AB=AC=6cm，BC=10cm
（1）求證：∠AOB=∠AOC；
（2）求圓片的半徑R（結果保留根號）；
（3）若在（2）題中的R的值滿足n＜R＜m（其中m、n為正整數），試估算m的最小值和n的最大值．

Answer 1

（1）證明：∵AB=AC，
∴=，
∴∠AOB=∠AOC；

（2）解：設OA交BC于點D，
∵=，
∴OA⊥BC，
∴BD=BC=×10=5（cm），
∵AB=6cm，
∴在Rt△ABD中，AD==（cm），
∵OB=Rcm，
則OD=（R-）cm，
∵OB²=OD²+BD²，
∴R²=（R-）²+25，
解得：R=（cm）；

（3）∵3＜＜4，
∴4＜＜6
∴m=6，n=4．
分析：（1）由AB=AC，根據弧、圓心角、弦的關系，即可證得：∠AOB=∠AOC；
（2）由垂徑定理，可求得BD的長，然后由勾股定理求得AD的長，繼而可得方程：R²=（R-）²+25，解此方程即可求得答案；
（3）首先估計的取值范圍，則可求得R的取值范圍，繼而求得答案．
點評：此題考查了垂徑定理，圓心角、弧弦的關系以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．