Question

如圖，△ABC中，點O在邊AB上，過點O作BC的平行線交∠ABC的平分線于點D，過點B作BE⊥BD，交直線OD于點E．
（1）求證：OE=OD；
（2）當點O在什么位置時，四邊形BDAE是矩形？說明理由；
（3）在滿足（2）的條件下，還需△ABC滿足什么條件時，四邊形BDAE是正方形？寫出你確定的條件，并畫出圖形，不必證明______．

Answer 1

（1）證明：∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠1=∠2．
∵DE∥BC，∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴OB=OD
∵BE⊥BD∴∠EBD=90°
∴∠4+∠2=∠5+∠3=90°
∴∠4=∠5
∴OE=OB
∴OE=OD

（2）解：當點O是邊AB的中點時，四邊形BDAE是矩形．
理由：當點O是邊AB的中點時，OA=OB
∵OE=OD
∴四邊形BDAE是平行四邊形
∵∠EBD=90°
∴四邊形BDAE是矩形

（3）解：當△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°時，
四邊形BDAE是正方形．
（說出“∠ABC為直角”即可）
分析：（1）根據角平分線的性質，和平行線的性質，證明角相等，然后再證明邊相等，等量代換得出結論．
（2）當點O是邊AB的中點時，四邊形BDAE是矩形，先證明四邊形是平行四邊形，再證明有一個角是直角就可以得證．
（3）△ABC是以∠ABC為直角的直角三角形時，四邊形BDAE是正方形．
點評：本題考查矩形的性質，平行線的性質，角平分線的性質以及正方形的判定定理等知識點．