Question

如圖,拋物線與x軸交于A、C兩點(diǎn),與y軸交于B點(diǎn)．

（1）求△AOB的外接圓的面積；

（2）若動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個單位沿射線AC方向運(yùn)動；同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒0.5個單位沿射線BA方向運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C處時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動．問當(dāng)t為何值時(shí),以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似？

（3）若M為線段AB上一個動點(diǎn),過點(diǎn)M作MN平行于y軸交拋物線于點(diǎn)N．

問：是否存在這樣的點(diǎn)M,使得四邊形OMNB恰為平行四邊形？若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）25π；（2）t＝以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似；（3）不存在這樣的點(diǎn)M,使得四邊形OMNB恰為平行四邊形,理由見解析．

【解析】

試題分析：(1)先求出A,B坐標(biāo),則△AOB的外接圓的半徑為AB,根據(jù)圓的面積公式求解即可；

（2）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等列出比例式,求解即可；

（3）若四邊形OMNB為平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出MN=OB=8,據(jù)此列出方程(x－8)－(x²－x－8)＝8,由判別式△＜0即可判斷出不存在這樣的點(diǎn)M,使得四邊形OMNB恰為平行四邊形．

試題解析：（1）∵,

∴當(dāng)y=0時(shí),=0,解得x=6或﹣8,

∴A（6,0）,B（0,－8）

∴OA＝6,OB＝8,∴AB＝10

∴S＝π·(5)²＝25π．

（2）AP＝t,AQ＝10－0.5t,易求AC=8,∴0≤t≤8

若△APQ∽△AOB,則．∴t＝．

若△AQP∽△AOB,則．∴t＝＞8（舍去,）．

∴當(dāng)t＝時(shí),以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似．

（3）直線AB的函數(shù)關(guān)系式為 ．

∵M(jìn)N∥y軸

∴設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x,則M（x,x－8）,N（x,x²－x－8）．

若四邊形OMNB為平行四邊形,則MN＝OB＝8

∴(x－8)－(x²－x－8)＝8

即x²－6x＋12＝0

∵△＜0,∴此方程無實(shí)數(shù)根,

∴不存在這樣的點(diǎn)M,使得四邊形OMNB恰為平行四邊形．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．