Question

綜合與探究：如圖,拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè))與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,以BC為一邊,點(diǎn)O為對(duì)稱中心作菱形BDEC,點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q

（1）求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)。

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l分別交BD，BC于點(diǎn)M,N。試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，此時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形CQBM的形狀，并說(shuō)明理由。

（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn) Q，使△BDQ為直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解析：（1）當(dāng)y=0時(shí)，，解得，

∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，

∴點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為：（-2，0），（8，0）

當(dāng)x=0時(shí)，y=-4

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-4），

（2）由菱形的對(duì)稱性可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4）.

設(shè)直線BD的解析式為y＝kx＋b，則.解得，k=，b=4.

∴直線BD的解析式為.

∵l⊥x軸，∴點(diǎn)M，Q的坐標(biāo)分別是（m，），（m，）

如圖，當(dāng)MQ=DC時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形.

∴（）-()=4-(-4)

化簡(jiǎn)得：.解得，m₁=0，（舍去）m₂=4.

∴當(dāng)m=4時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形.

此時(shí)，四邊形CQBM是平行四邊形.

解法一：∵m=4，∴點(diǎn)P是OB中點(diǎn).∵l⊥x軸，∴l(xiāng)∥y軸.

∴△BPM∽△BOD.∴.∴BM=DM.

∵四邊形CQMD是平行四邊形，∴DMCQ∴BMCQ.∴四邊形CQBM為平行四邊形.

解法二：設(shè)直線BC的解析式為y=k₁x+b₁，則.解得，k₁=，b₁=-4

∴直線BC的解析式為y=x-4

又∵l⊥x軸交BC于點(diǎn)N.∴x=4時(shí)，y=-2. ∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，-2）由上面可知，點(diǎn)M,Q的坐標(biāo)分別為：（4，2），Q(4,-6).

∴MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4.∴MN=QN.

又∵四邊形CQMD是平行四邊形.∴DB∥CQ，∴∠3=∠4，

又∠1=∠2，∴△BMN≌△CQN.∴BN=CN.

∴四邊形CQBM為平行四邊形.

（3）拋物線上存在兩個(gè)這樣的點(diǎn)Q，分別是Q₁（-2，0），Q₂（6，-4）.