Question

已知關于的方程.

1.求證：無論取任何實數時，方程恒有實數根；

2.若為整數，且拋物線與軸兩交點間的距離為2，求拋物線的解析式

3.若直線與（2） 中的拋物線沒有交點，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

 

1.分兩種情況討論.

①   當時，方程為　

∴　方程有實數根  -----------------------------1分

②當，則一元二次方程的根的判別式

＝

∴不論為何實數，成立，

∴方程恒有實數根  -----------------------------------------3分

綜合①、②，可知取任何實數，方程恒有實數根

2.設為拋物線與軸交點的橫坐標.

令， 則

由求根公式得， ， -------------------------------------5分

∴拋物線不論為任何不為0的實數時恒過定點-----------------------6分

∵

∴

∴ 或，----------------------------------------------------------8分

∴  或（舍去）

∴求拋物線解析式為， ----------------------------------------9分

3.由  ，得　

     ∴  --------------------------------------10分

∵直線與拋物線沒有交點

∴

∴　 -------------------------------------11分

所以，當， 直線與（2）中的拋物線沒有交點. --------------12分

【解析】（1）分兩種情況討論．①當m=0時，方程為x-2=0求出方程的解x=2；②當m≠0，則得到一個一元二次方程，求出方程的根的判別式△=（m+1）²得出不論m為何實數，△≥0成立，即可得到答案；

（2）設x₁，x₂為拋物線y=mx²-（3m-1）x+2m-2與x軸交點的橫坐標．求出方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0的解x₁=2，x₂= ，根據題意得出|2-x₂|=2，求出x，x₂=0或x₂=4，進一步求出m即可；

（3）把方程組 ，轉化成方程x²-3x-b=0，根據題意求出△=9+4b＜0，解不等式即可．