Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°AB=6cm，BC=8cm，動點P以2cm/秒的速度從A點出發，沿AC向C移動，同時，動點Q以1cm/秒的速度從C點出發，沿CB向B移動．當其中有一點到達終點時，它們都停止移動，設移動時間為t秒．
（1）①當t=2.5秒時，求△CPQ的面積；
     ②求△CPQ的面積S（cm²）關于時間t（秒）的函數關系式；
（2）在P，Q移動的過程中，當△CPQ為等腰三角形時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）①由勾股定理求出AC=10cm，求出AP=5，CQ=2.5，過P作PD⊥BC于D，根據三角形的中位線求出PD=AB=3cm，根據三角形面積公式求出即可；②過Q作QE⊥AC于E，求出AP=2t，CP=10-2t，根據△CEQ∽△CBA求出QE=t，據三角形面積公式求出即可；
（2）分為三種情況：①當PC=CQ時得出10-2t=t，②當PQ=CQ時，根據cosC==得出=，③當PQ=CP時，根據cosC==得出=，求出即可．
解答：解：（1）①在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，由勾股定理得：AC=10cm，
由題意得：AP=2×2.5=5，CQ=2.5，
過P作PD⊥BC于D，
∴PD∥AB，
∵AP=5cm，AC=10cm，
∴P為AC中點，
∴D為BC中點，
∴PD=AB=×6cm=3cm，
∴S_△CPQ=CQ•PD=×2.5cm×3cm=3.75cm²；
②過Q作QE⊥AC于E，
由題意得：AP=2t，CP=10-2t，
則∠CEQ=∠B=90°，
∵∠C=∠C，
∴△CEQ∽△CBA，
∴==，
∴QE=t，
∴S_△CPQ=•CP•QE=（10-2t）•t，
S=-t²+3t（0＜t＜5）；
（2）分為三種情況：①當PC=CQ時，即10-2t=t，
t=，
當t=秒，△CPQ是等腰三角形．
②當PQ=CQ時，
∵QE⊥CP，
∴PE=CE=•（10-2t）=5-t，
∵cosC==，
∴=，
t=，
∴當t=秒時，△CPQ是等腰三角形，
③當PQ=CP時，
∵PD⊥BC，
∴CD=QD=CQ=t，
∵cosC==，
∴=，
t=
∴當t=秒時，△CPQ是等腰三角形，
即當△CPQ為等腰三角形時，t的值是秒或秒或秒．
點評：本題考查了等腰三角形性質，勾股定理，解直角三角形的應用，主要考查學生綜合運用性質進行計算和推理的能力，用了分類討論思想．