Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點A（3，0）、B（0，－3），點P是直線AB上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，設點P的橫坐標為t．

（1）分別求出直線AB和這條拋物線的解析式．（4分）

（2）若點P在第四象限，連接AM、BM，當線段PM最長時，求△ABM的面積．（4分）

（3）是否存在這樣的點P，使得以點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由（4分）

 

Answer 1

（1）；（2）； （3）存在，P點的橫坐標是或．

【解析】

試題分析：（1）分別利用待定系數法求兩函數的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分別代入與，得到關于m、n的兩個方程組，解方程組即可；

（2）設點P的坐標是（，），則M（，），用P點的縱坐標減去M的縱坐標得到PM的長，即PM=（）﹣（）=，然后根據二次函數的最值得到

當時，PM最長為，再利用三角形的面積公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM計算即可；

（3）由PM∥OB，根據平行四邊形的判定得到當PM=OB時，點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，然后討論：當P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時只有，所以不可能；當P在第一象限：PM=OB=3，（）﹣（）=3；當P在第三象限：PM=OB=3，，分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值．

試題解析：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入，得：，解得，

所以拋物線的解析式是．

設直線AB的解析式是，

把A（3，0）B（0，﹣3）代入，得：，解得：，

所以直線AB的解析式是；

（2）設點P的坐標是（，），則M（，），因為p在第四象限，

所以PM=（）﹣（）=，

當時，二次函數的最大值，即PM最長值為，

則S△ABM=S△BPM+S△APM=；

（3）存在，理由如下：∵PM∥OB，

∴當PM=OB時，點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，

①當P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時只有，所以不可能有PM=3．

②當P在第一象限：PM=OB=3，（）﹣（）=3，解得，（舍去），所以P點的橫坐標是；

③當P在第三象限：PM=OB=3，，解得（舍去），，所以P點的橫坐標是．所以P點的橫坐標是或．

考點：1．二次函數綜合題；2．平行四邊形的判定．