Question

（2003•河南）已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，垂足為A，以腰BC為直徑的半圓O切AD于點E，連接BE，若BC=6，∠EBC=30°，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】分析：連接EC，EO．根據梯形的面積等于梯形的中位線長乘以高，顯然中位線即是半圓的半徑，即為3．故只需求得該梯形的高．根據梯形的中位線，只需求得DE的長，首先根據30度的直角三角形BCE求得CE的長，再根據弦切角定理求得∠CED=30°，進一步根據銳角三角函數求得DE的長，再根據梯形的面積公式進行計算．
解答：解：如圖
連接EC，∵BC為半圓O的直徑，
∴BE⊥EC（1分）
∵∠EBC=30°，
∴EC=BC=×6=3；
連接OE，
∴OE=OB=3∠BEO=30°
∵AD與⊙O相切于點E，
∴OE⊥AD
∴∠OEC=60°，
∴∠DEC=30°，
∴DC=EC=，
∴DE=；（3分）
∵OE∥DC∥AB，OC=OB，
∴OE是梯形的中位線，
∴AE=DE=，（5分）
∴AD=2DE=3；
∵AD⊥AB，
∴DA為梯形ABCD的高
∴S_梯形ABCD=OE•AD=3×3．（7分）
點評：綜合運用了切線的性質定理、平行線等分線段定理、梯形的中位線定理．能夠發現此圖中30度的直角三角形，熟練運用特殊角的銳角三角函數值進行計算．