Question

【題目】如圖，已知，⊙O的半徑OC垂直于弦AB，垂足為點D，點P在OC的延長線上，連結AP，AC平分∠PAB．

(1)求證：PA是⊙O的切線；

(2)若sinP=，AB=16,求⊙O的半徑長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)10.

【解析】

（1）由角平分線的定義和等腰三角形的性質可得∠OCA=∠OAC，∠PAC=∠BAC，由直角三角形的性質可得∠PAC+∠OAC=90°，即可證PA是⊙O的切線；

（2）根據切線的性質得到OA⊥AP，求得∠OAE=∠P，根據已知條件得到sinP=sin∠OAE=，設OE=3x，AO=5x，求得AE=4x，于是得到結論．

（1）連接OA，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∵AC平分∠PAB，

∴∠PAC=∠BAC，

∵OC垂直于弦AB，

∴∠BAC+∠OCA=90°，

∴∠PAC+∠OAC=90°，

∴OA⊥PA，且OA是半徑，

∴PA是⊙O的切線；

（2）∵PA是⊙O的切線，

∴OA⊥AP，

∵OC垂直于弦AB，

∴∠BAO+∠O=∠P+∠O=90°，

∴∠OAE=∠P，

∵sinP=，

∴sinP=sin∠OAE=，

設OE=3x，AO=5x，

∴AE=4x，

∵AB=2AE=16，

∴x=2，

∴AO=10，

∴⊙O的半徑長為10．