Question

如圖在等邊△ABC中，P是BC邊上一點，D為AC上一點，且∠APD=60°，BP=3，CD=2，則△CPD，△BAP，△APD的面積比為

4：9：14

．

Answer 1

分析：根據題意可得：設△ABC的邊長為x，易得：△ABP∽△CPD；可得比例式

BP

DC

=

AB

PC

解得△ABC的邊長為，又因為△APD和△DPC高相同，所以面積比等于對應底之比，進而三個三角形的面積比求出．

解答：解：設△ABC的邊長為x，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠DCP=∠PBA=60°
∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠BAP+∠ABP，
∵∠APD=60°，
∴∠BAP=∠CPD，
∴△ABP∽△CPD，
∴

BP

DC

=

AB

PC

，
∴

3

2

=

x

x-3

，
∴x=9．
即△ABC的邊長為9．
∴AD=AC-CD=9-2=7，
∵△PDC和△APD高相等，
∴S△PDC：S△APD=2：7，
∵△ABP和△ABC高相等，
∴S△ABP：S△ABC=3：9=1：3；
∴S△APC=

2

3

S△ABC，
∴SPDC=

2

3

×

2

9

S△ABC，S△APD=

2

3

×

7

9

S△ABC，
∴△CPD，△BAP，△APD的面積比為：

4

27

：

1

3

：

14

27

=4：9：14．
故答案為：4：9：14．

點評：本題考查了相似三角形的判定和相似三角形的性質以及等邊三角形的性質，解題的關鍵是求出等邊三角形的邊長，在高相等的情況下利用三角形的面積比等于對于底邊的．