Question

如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)P，∠CAB=40°，∠APD=65°．
（1）求∠B的大小；
（2）已知圓心0到BD的距離為3，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由同弧所對(duì)的圓周角相等求得∠CAB=∠CDB=40°，然后根據(jù)平角是180°求得∠BPD=115°；最后在△BPD中依據(jù)三角形內(nèi)角和定理求∠B即可；
（2）過點(diǎn)O作OE⊥BD于點(diǎn)E，則OE=3．根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，以及平行線的判定知OE∥AD；又由O是直徑AB的半徑可以判定O是AB的中點(diǎn)，由此可以判定OE是△ABD的中位線；最后根據(jù)三角形的中位線定理計(jì)算AD的長(zhǎng)度．
解答：解：（1）∵∠CAB=∠CDB（同弧所對(duì)的圓周角相等），∠CAB=40°，
∴∠CDB=40°；
又∵∠APD=65°，
∴∠BPD=115°；
∴在△BPD中，
∴∠B=180°-∠CDB-∠BPD=25°；

（2）過點(diǎn)O作OE⊥BD于點(diǎn)E，則OE=3．
∵AB是直徑，
∴AD⊥BD（直徑所對(duì)的圓周角是直角）；
∴OE∥AD；
又∵O是AB的中點(diǎn)，
∴OE是△ABD的中位線，
∴AD=2OE=6．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、三角形的中位線定理、圓周角定理．解答（1）時(shí)，還可以利用外角定理來求∠B的度數(shù)．