Question

【題目】已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．且△OCP與△PDA的面積比為1：4
（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點O，連結AP、OP、OA．
①求證：△OCP∽△PDA；
②求邊AB的長；

（2）如圖2，連結AP、BP．動點M在線段AP上（點M與點P、A不重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連結MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E．試問當點M、N在移動過程中，線段EF的長度是否發生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90°，

∴∠DPA+∠DAP=90°，

∵由折疊可得∠APO=∠B=90°，

∴∠DPA+∠CPO=90°，

∴∠DAP=∠CPO，

又∵∠D=∠C，

∴△OCP∽△PDA；

②如圖1，∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，

∴ = = = ，

∴CP= AD=4，

設OP=x，則CO=8﹣x，

在Rt△PCO中，∠C=90°，

由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，

解得：x=5，

∴AB=AP=2OP=10，

∴邊AB的長為10

（2）

解：結論：線段EF的長度不發生變化．EF=2 ．

理由：如圖2中，作MQ∥AN，交PB于點Q，

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP=∠MQP．

∴MP=MQ，

∵BN=PM，

∴BN=QM．

∵MP=MQ，ME⊥PQ，

∴EQ= PQ．

∵MQ∥AN，

∴∠QMF=∠BNF，

在△MFQ和△NFB中，

，

∴△MFQ≌△NFB（AAS），

∴QF=FB，

∴QF= QB，

∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB，

由（1）中的結論可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，

∴PB= =4 ，

∴EF= PB=2 ，

∴當點M、N在移動過程中，線段EF的長度不變，它的長度為2 ．

【解析】（1）①只要證明∠PAD=∠CPO，由∠D=∠C=90°，即可證出△OCP∽△PDA；②根據△OCP與△PDA的面積比為1：4，得出CP= AD=4，設OP=x，則CO=8﹣x，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42 ， 求出x，最后根據AB=2OP即可求出邊AB的長；（2）作MQ∥AN，交PB于點Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根據ME⊥PQ，得出EQ= PQ，根據∠QMF=∠BNF，證出△MFQ≌△NFB，得出QF= QB，再求出EF= PB，由（1）中的結論求出PB，即可判斷．