Question

已知關于x的一元二次方程x²-2x-m=0，
（1）若方程有一個根是

2

+1，求m的值及另一個根；
（2）結論“無論m取任何實數值時，原方程總有兩個不相等的實數根”是否正確？若正確，請證明；若不正確，請舉一個反例說明．

Answer 1

分析：（1）先把方程的根代入原方程即可求出m的值，再設出方程的另一個根，根據一元二次方程根與系數的關系即可求出另一個根；
（2）根據方程的判別式解答，只要證明方程的判別式的值大于0即可．

解答：解：（1）∵方程有一個根是

2

+1，
∴（

2

+1）²-2（

2

+1）-m=0，
∴m=1，
∴原方程可化為x²-2x-1=0，
設方程的另一根為x，則x+

2

+1=2，
∴x=1-

2

；
（2）∵△=b²-4ac=（-2）²+4m=4+4m，
∵m的取值范圍不能確定，
∴無論m取任何實數值時，原方程總有兩個不相等的實數根錯誤．
例如：當m=-1時，4+4m=4-4=0，此時方程有兩個相等的實數根．

點評：此題綜合考查了一元二次方程根與系數的關系及根的判別式，有一定的綜合性，但難度適中．