Question

如圖，BC是圓O的直徑，AD垂直BC于D，

BA

=

AF

，BF與AD交于E，
求證：（1）AE=BE，
（2）若A，F把半圓三等分，BC=12，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）連AC，BC為直徑，則∠BAC=90°，AD⊥BC，得∠C=∠BAE．由

BA

=

AF

，可得∠C=∠ABF，所以∠ABE=∠BAE，從而證得AE=BE；
（2）A，F把半圓三等分，則∠ACB=30°，由BC=12，得到AB=6，則AC=6

3

，所以AD=3

3

．

解答：（1）證明：連AC，如圖，
∵BC為直徑，則∠BAC=90°，
∴∠C+∠ABC=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠BAE+∠ABC=90°，
∴∠C=∠BAE，
由

BA

=

AF

，可得∠C=∠ABF，
∴∠ABE=∠BAE，
∴AE=BE；

（2）解：∵A，F把半圓三等分，
∴∠ACB=30°，
在直角三角形ABC中，BC=12，則AB=

1

2

BC=6，AC=

3

AB=6

3

．
在直角三角形ADC中，AD=

1

2

AC=3

3

．
所以AD=3

3

．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓和等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．也考查了直徑所對的圓周角為90度以及含30度的直角三角形三邊的比為1：

3

：2．