Question

如圖，在△ABC中，已知AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E．求證：AB=AC+CD．

Answer 1

證明：∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，
∴∠ABC=45°，
又∵DE⊥AB，垂足為E，
∴∠B=∠EDB=45°，
∴DE=EB，
又∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=CD．
在Rt△ACD與Rt△AED中，
∵，
∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE，CD=DE，
∴AB=AE+EB=AC+CD．
分析：根據已知AC=BC，∠C=90，可得出DE=EB，再利用AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，可證明△ACD≌△AED，然后利用全等三角形的對應邊相等和等量代換即可證明AB=AC+CD．
點評：此題考查學生對等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的性質等知識點的理解和掌握，證明此題的關鍵是證明△ACD≌△AED，此題難度不大，屬于基礎題．