Question

已知m²+2mn+2n²-6n+9=0，求

m

n2

的值．
解：∵m²+2mn+2n²-6n+9=0
∴（m+n）²+（n-3）²=0
∴（m+n）²=0，（n-3）²=0
∴n=3，m=-3
∴

m

n2

=

-3

9

=-

1

3

根據你的觀察，探究下面的問題：
（1）已知x²+4x+4+y²-8y+16=0，求

y

x

的值；
（2）已知a，b，c是△ABC的三邊長，且滿足a²+b²-8b-10a+41=0，求△ABC中最大邊c的取值范圍；
（3）試說明不論x，y取什么有理數時，多項式x²+y²-2x+2y+3的值總是正數．

Answer 1

分析：（1）按照題目提供的方法將x²+4x+4+y²-8y+16=0配方后即可求得x、y的值即可求解；
（2）求得三角形的兩邊后即可求得第三邊的取值范圍；
（3）將其整理成完全平方數加正數的形式即可證得結論．

解答：解：（1）∵x²+4x+4+y²-8y+16=0
∴（x+2）²+（y-4）²=0，
∴（x+2）²=0，（y-4）²=0，
∴x=-2，y=4
∴

y

x

=-

1

2

；
（2））∵a²+b²-8b-10a+41=0，
∴（a-5）²+（b-4）²=0，
∴（a-5）²=0，（b-4）²=0，
∴a=5，b=4
△ABC中最大邊5＜c＜9；
（3））∵x²+y²-2x+2y+3=（x-1）²+（y+1）²+1，
且（x-1）²≥0，（y+1）²≥0，
∴x=-2，y=4
∴（x-1）²+（y+1）²+1＞0，
∴多項式x²+y²-2x+2y+3的值總是正數．

點評：本題考查了配方法的應用，特別是判斷一個算式是正數時總是將其整理成一個完全平方公式加正數的形式．