Question

【題目】一個三位正整數M，其各位數字均不為零且互不相等．若將M的十位數字與百位數字交換位置，得到一個新的三位數，我們稱這個三位數為M的“友誼數”，如：168的“友誼數”為“618”；若從M的百位數字、十位數字、個位數字中任選兩個組成一個新的兩位數，并將得到的所有兩位數求和，我們稱這個和為M的“團結數”，如：123的“團結數”為12+13+21+23+31+32=132．

（1）求證：M與其“友誼數”的差能被15整除；

（2）若一個三位正整數N，其百位數字為2，十位數字為a、個位數字為b，且各位數字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“團結數”與N之差為24，求N的值．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）284或218．

【解析】整體分析：

（1）M為100a+10b+c，計算M與其“友誼數”的差；（2）用N的“團結數”與N之差為24列方程，結合a，b是正整數求解.

解：（1）由題意可得，

設M為100a+10b+c，則它的友誼數為：100b+10a+c，

（100a+10b+c）﹣（100b+10a+c）

=100a+10b+c﹣100b﹣10a﹣c

=100（a﹣b）+10（b﹣a）

=90（a﹣b），

∵=6(a-b)，

∴M與其“友誼數”的差能被15整除；

（2）由題意可得，

N=2×100+10a+b=200+10a+b，

N的團結數是：10×2+a+10a+2+10×2+b+10×b+2+10a+b+10b+a=22a+22b+44，

∴22a+22b+44﹣（200+10a+b）=24，

解得， 或.

即N是284或218．