Question

（14分）在研究勾股定理時(shí)，同學(xué)們都見到過圖1，∠，四邊形、、都是正方形.

⑴連結(jié)、得到圖2，則△≌△，此時(shí)兩個(gè)三角形全等的判定依據(jù)是

  ▲  ；過作⊥于，交于，則_△；同理_△，得，然后可證得勾股定理.

⑵在圖1中，若將三個(gè)正方形“退化”為正三角形，得到圖3，同學(xué)們可以探究△、△、△的面積關(guān)系是      ▲    .

⑶為了研究問題的需要，將圖1中的△也進(jìn)行“退化”為銳角△，并擦去正方形得圖4，由兩邊向三角形外作正△、正△，△的外接圓與交于點(diǎn)，此時(shí)、、共線，從△內(nèi)一點(diǎn)到、、三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)恰為點(diǎn)（已經(jīng)被他人證明）.設(shè)＝3，＝4，.求的值.

 

Answer 1

（1）（2）.⑶

解析:（1） 

（2）.

（3）在上截取＝，連.

∵為正三角形，

＝＝＝3.

∴∠60°, ∠60°.

∴為正三角形

∴＝＝

∴∠60°.

∴∠180°－∠180°－60°＝120°.

∠∠＋∠60°＋60°＝120°.

∴△≌△

∴＝

∴＋＋＝＋＋＝AD

在△中，＝3，＝4，∠＝∠＋∠＝120°.

可求得：＝.

即＋＋＝