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觀察下列各式，通過分母有理化，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式：
數學公式=數學公式=數學公式-1，數學公式=數學公式=數學公式-數學公式，
同理可得：數學公式=數學公式-數學公式，…
從計算結果中找出規律，并利用這一規律計算
（數學公式+數學公式+數學公式+…數學公式）（數學公式+1）的值．

解：原式=（-1+-+-+…+-）（+1）
=（-1）（+1）
=-1
=2010-1
=2009．
分析：根據已知得出（-1+-+-+…+-）（+1），推出（-1）（+1），根據平方差公式求出即可．
點評：本題考查了分母有理化的應用，解此題的關鍵是根據題目的結果找出規律，題目比較好，有一定的難度．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

觀察下列各式，通過分母有理化，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式：
1
2
+1
=
1×(
2
-1)
(
2
+1)(
2
-1)
=
2
-1
2-1
=
2
-1，
1
3
+
2
=
1×(
3
-
2
)
(
3
+
2
)(
3
-
2
)
=
3
-
2
3-2
=
3
-
2
，
同理可得：
1
4
+
3
=
4
-
3
，…
從計算結果中找出規律，并利用這一規律計算
（
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…
1
2010
+
2009
）（
2010
+1）的值．

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科目：初中數學 來源： 題型：

觀察下列各式，通過分母有理化，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式．
1
2
+1
=
1×(
2
-1)
(
2
+1)(
2
-1)
=
2
-1
2-1
=
2
-1
1
3
+
2
=
1×(
3
-
2
)
(
3
+
2
)(
3
-
2
)
=
3
-
2
3-2
=
3
-
2

同理可得：
1
4
+
3
=
4
-
3

從計算結果中找出規律，并利用這一規律計算：
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
2013
+
2012
（
2013
+1）

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科目：初中數學 來源：新課標教材導學　　數學八年級第二學期 題型：059

請同學們判斷下列各式是否成立：

(1)＝2；(2)＝3；(3)＝4；(4)＝3．

經過計算可知，(1)、(2)、(3)式是成立的；(4)式是不成立的．這說明在二次根式的化簡運算中要特別注意，根號里面的數是不能輕易地放到根號外面來的．

細心的同學可能會想，什么情況下根號里面的數能放到根號外面來呢？(1)、(2)、(3)式的成立僅僅是巧合嗎？其中會有什么規律吧？我們來分析一下前三個式子的運算過程：

(1)＝＝＝2；

(2)＝＝＝3；

(3)＝＝＝4．

通過把帶分數化成假分數的分數運算和分子開方運算驗證了這些式子是成立的．

我們再來觀察前三個等式左邊根號內分數的特點．在三個帶分數2、3、4中：

(1)整數部分與分數部分的分子相等：

2＝2，3＝3，4＝4；

(2)整數部分與分數部分的分母有下列關系：

3＝22－1，8＝32－1，15＝42－1．

根據上面的分析和觀察，我們不妨觀察5＋＝5，式子＝5是不是也成立？

＝＝＝5

確實是成立的！

大膽地猜想一下，對于一般的形式a＋(a為大于1的整數)，式子

＝a

還會成立嗎？我們來驗證一下：

＝＝

＝＝a

(a為大于1的整數)．

太妙啦！我們的猜想是正確的．

那么，下列各式成立嗎？

(1)＝2；(2)＝3；(3)＝4；(4)＝3．

能不能由此得出下面的結論呢？

＝a

同學們可能還會不滿足，還會有更大膽的猜想！那就試試看吧．不要忘記，猜想成為真理，是要經過嚴格證明的．

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科目：初中數學 來源：2009-2010學年河北省廊坊市霸州二中九年級（上）第一次段考數學試卷（解析版） 題型：解答題

觀察下列各式，通過分母有理化，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式：
==-1，==-，
同理可得：=-，…
從計算結果中找出規律，并利用這一規律計算
（+++…）（+1）的值．

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