Question

(2005·四川成都)已知：如圖a所示，△ABC是等邊三角形，過AB邊上的點D作DG∥BC，交AC于點G，在GD的延長線上取點E，使DE=DB，連接AE、CD．

(1)求證：△AGE≌△DAC；

(2)過點E作EF∥DC，交BC于點F，請你連接AF，并判斷△AEF是怎樣的三角形，并證明你的結論．

Answer 1

答案：略
解析：

證明　(1)∵如圖所示，△ABC是等邊三角形． 　　∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°． 　　∵EG∥BC，∴∠ADG=∠ABC=60°， 　　∠AGD=∠ACB=60°． 　　∴△ADG是等邊三角形． 　　∴AD=DG=AG 　　∵DE=DB，∴EG=AB．∴GE=AC 　　∴在△AGE和△DAC中， 　　∵EG=AB=CA， 　　∠AGE=∠DAC=60°，AG=DA， 　　∴△ACE≌△DAC． (2)如圖b所示 連接AF，則△AEF是等邊三角形． 　　∵EG∥BC，EF∥DC， 　　∴四邊形EFCD是平行四邊形． 　　∴EF=DC，∠DEF=∠DCF． 　　∵△AGE≌△DAC， 　　∴∠AE=CD，∠AED=∠ACD． 　　∵EF=CD=AE，∠AED＋∠DEF= ∠ACD＋∠DCB=60°， 　　∴△AEF是等邊三角形．