Question

在平面直角坐標系xOy中，直線 y=x+6與x軸交于點A，與y軸交于點B．
（1）求∠BAO的度數；
（2）如圖1，P為線段AB上一點，在AP上方以AP為斜邊作等腰直角三角形APD．點Q在AD上，連接PQ，過作射線PF⊥PQ交x軸于點F，作PG⊥x軸于點G．求證：PF=PQ；
（3）如圖2，E為線段AB上一點，在AE上方以AE為斜邊作等腰直角三角形AED．若P為線段EB的中點，連接PD、PO，猜想線段PD、PO有怎樣的關系？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函數解析式求出A、B的坐標，從而得出OA、OB的長，判斷出△AOB為等腰直角三角形，據此即可得到∠BAO的度數；
（2）根據三角形APD為等腰直角三角形，中PG⊥x軸于G，判斷出DP⊥AD，結合（1）可得∠BAO=45°．
從而∠BAO=∠1，再根據PG⊥x軸于G，得到PG=PD，再根據∠3+∠GPQ=90°，∠2+∠GPQ=90°求出∠2=∠3，從而而判斷出△PGF≌△PDQ，可知PF=PQ．
（3）先證出△PBH≌△PED得到∠3=∠4，從而得到BH∥ED，再證出△DAO≌△HBO，得到OD=OH，∠5=∠6，然后在等腰直角三角形△DOH中，∠ODP=∠7，得到OP=PD．

解答：PD解：（1）直線y=x+6與x軸交于點A，與y軸交于點B．

∴A（-6，0），B（0，6）．
∴OA=OB．
∴∠BAO=∠ABO
在△AOB中，∠AOB=90°．
∴∠BAO=∠ABO=45°． 
（2）在等腰直角三角形APD中，∠PDA=90°，DA=DP，∠1=∠APD=45°．
∴DP⊥AD于D．
由（1）可得∠BAO=45°．
∴∠BAO=∠1．
又∵PG⊥x軸于G，
∴PG=PD．
∴∠AGP=∠PGF=∠D=90°．
∴∠4=∠BAO=45°．
∴∠4+∠APD=∠DPG=90°．
即∠3+∠GPQ=90°．
又∵PQ⊥PF，
∴∠2+∠GPQ=90°．
∴∠2=∠3．
在△PGF和△PDQ中，

∠PGF=∠D PG=PD ∠2=∠3

∴△PGF≌△PDQ（ASA）．
∴PF=PQ．
（3）答：OP⊥DP，OP=DP．
證明：延長DP至H，使得PH=PD．
∵P為BE的中點，
∴PB=PE．
在△PBH和△PED中，

PB=PE ∠1=∠2 PH=PD

，
∴△PBH≌△PED（SAS）．
∴BH=ED． 
∴∠3=∠4．
∴BH∥ED．
在等腰直角三角形ADE中，
AD=ED，∠DAE=∠DEA=45°．
∴AD=BH，∠DAE+∠BAO=∠DAO=90°．
∴DE∥x軸，BH∥x軸，BH⊥y軸．
∴∠DAO=∠HBO=90°．
由（1）可得 OA=OB．
在△DAO和△HBO中，

AD=BH ∠DAO=∠HBO OA=OB

，
∴△DAO≌△HBO（SAS）．
∴OD=OH，∠5=∠6． 
∵∠AOB=∠5+∠DOB=90°，
∴∠DOH=∠6+∠DOB=90°．
∴在等腰直角三角形△DOH中，
∵DP=HP，
∴OP⊥DP，∠7=

1

2

∠DOH=45°．
∴∠ODP=∠7．
∴OP=PD．

點評：本題考查了一次函數的圖象和性質，涉及全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質，難度較大．