Question

（2006•雅安）如圖，已知二次函數y=-x²+4x+c的圖象經過坐標原點，并且與函數y=x的圖象交于O、A兩點．
（1）求c的值；
（2）求A點的坐標；
（3）若一條平行于y軸的直線與線段OA交于點F，與這個二次函數的圖象交于點E，求線段EF的最大長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）二次函數y=-x²+4x+c的圖象經過坐標原點，把（0，0）代入解析式就可以求出c的值．
（2）解拋物線的解析式與函數y=x的解析式組成的方程組就可以求出A點的坐標．
（3）直線OA的解析式可以利用待定系數法求出函數的解析式，設E點的橫坐標是x，把x代入拋物線的解析式，以及直線OA的解析式，就可以求出兩個函數交點的縱坐標，縱坐標的差就是EF的長，EF的長可以表示成x的函數．可以轉化為函數的最值問題．
解答：解：（1）（0，0）代入y=-x²+4x+c
解得：c=0．

（2）根據題意得到，
解得，
則A（7，）．

（3）設此直線為x-a，則E（a，-+4a），F（a，），
∴EF=-a²+4a-a=-a²+a
=-（a-）²+
∴當a=時，EF最大長度為．
點評：本題主要考查了待定系數法求函數的解析式，以及函數交點的求法，最值問題一般是轉化為函數的最值問題．