Question

【題目】如圖，點A、B分別在x，y軸上，點D在第一象限內，DC⊥x軸于點C，AO=CD=2，AB=DA= ，反比例函數y= （k＞0）的圖象過CD的中點E．

（1）求證：△AOB≌△DCA；
（2）求k的值；
（3）△BFG和△DCA關于某點成中心對稱，其中點F在y軸上，是判斷點G是否在反比例函數的圖象上，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵點A、B分別在x，y軸上，點D在第一象限內，DC⊥x軸，

∴∠AOB=∠DCA=90°，

在Rt△AOB和Rt△DCA中

，

∴Rt△AOB≌Rt△DCA

（2）

解：在Rt△ACD中，CD=2，AD= ，

∴AC= =1，

∴OC=OA+AC=2+1=3，

∴D點坐標為（3，2），

∵點E為CD的中點，

∴點E的坐標為（3，1），

∴k=3×1=3；

（3）

解：點G在反比例函數的圖象上．理由如下：

∵△BFG和△DCA關于某點成中心對稱，

∴△BFG≌△DCA，

∴FG=CA=1，BF=DC=2，∠BFG=∠DCA=90°，

而OB=AC=1，

∴OF=OB+BF=1+2=3，

∴G點坐標為（1，3），

∵1×3=3，

∴G（1，3）在反比例函數y= 的圖象上．

【解析】（1）利用“HL”證明△AOB≌△DCA；（2）先利用勾股定理計算出AC=1，再確定C點坐標，然后根據點E為CD的中點可得到點E的坐標為（3，1），則可根據反比例函數圖象上點的坐標特征求得k=3；（3）根據中心對稱的性質得△BFG≌△DCA，所以FG=CA=1，BF=DC=2，∠BFG=∠DCA=90°，則可得到G點坐標為（1，3），然后根據反比例函數圖象上點的坐標特征判斷G點是否在函數y= 的圖象上．