Question

如圖，以AC為直徑的⊙D與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A、B的坐標(biāo)分別為（-2，0）和（1，0），BC=

3

．設(shè)直線AC與直線x=2交于點(diǎn)E．
（1）求以直線x=2為對稱軸，且過C與原點(diǎn)O的拋物線的函數(shù)解析式，并判斷此拋物線是否過點(diǎn)E，說明理由；
（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為N，M是該拋物線上位于C、N之間的一動點(diǎn)，求△CMN面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）首先判斷BC⊥AB，然后求出點(diǎn)C坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對稱軸為x=2，可設(shè)拋物線解析式是y=a（x-2）²+k，將（0，0）及點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可得出a、k的值，繼而得出拋物線解析式，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)后，代入即可判斷此拋物線是否過點(diǎn)E．
（2）根據(jù)題意畫出圖形，拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)N（4，0），設(shè)M（x，y），過C，M分別作x軸的垂線，垂足為G，H，則根據(jù)S_△CMN=S_CGHM+S_△HMN-S_△CGN，可得△CMN的面積關(guān)于x、y的表達(dá)式，將y=-

3

3

(x-2)2+

4 3

3

，代入可得△CMN的面積關(guān)于x的表達(dá)式，利用配方法求最值即可．

解答：解：（1）∵AC為⊙D的直徑，
∴BC⊥AB，
∴由已知可得點(diǎn)C（1，

3

），
設(shè)拋物線解析式是y=a（x-2）²+k，
將（0，0）、（1，

3

）得：

4a+k=0 a+k= 3

，
解得：

a=- 3 3 k= 4 3 3

，
故拋物線的解析式為：y=-

3

3

(x-2)2+

4 3

3

，
設(shè)直線x=2與x軸交于點(diǎn)F，則CB∥EF，
∴△ACB∽△AEF，
∴

AB

AF

=

CB

EF

，即

3

4

=

3

EF

，
∴EF=

4 3

3

，
∴E（2，

4 3

3

），
當(dāng)x=2時，y=-

3

3

(2-2)2+

4 3

3

=

4 3

3

，
∴拋物線經(jīng)過點(diǎn)E．

（2）拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)N（4，0），設(shè)M（x，y），
過C，M分別作x軸的垂線，垂足為G，H，
S_△CMN=S_CGHM+S_△HMN-S_△CGN
=

1

2

（y+

3

）（x-1）+

1

2

y（4-x）-

1

2

×3×

3

=

3y

2

+

3

2

x-2

3

=

3

2

[-

3

3

(x-2)2+

4 3

3

]+

3

2

x-2

3

=-

3

2

x2+

5 3

2

x-2

3

=-

3

2

（x-

5

2

）²+

9 3

8

（1≤x≤4），
當(dāng)x=

5

2

時，S_△CMN的最大值是

9

8

3

．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，難點(diǎn)在第二問，關(guān)鍵是作出圖形，得出面積關(guān)于x的表達(dá)式，要求同學(xué)們熟練配方法求二次函數(shù)最值的應(yīng)用．