Question

閱讀材料：如圖1，△ABC的周長為l，面積為S，內切圓O的半徑為r，探究r與S、l之間的關系．連接OA，OB，OC∵S=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCA
又∵S△OAB=

1

2

AB•r，S△OBC=

1

2

BC•r，S△OCA=

1

2

CA•r
∴S=

1

2

AB•r+

1

2

BC•r+

1

2

CA•r=

1

2

l•r
∴r=

2S

l

解決問題：
（1）利用探究的結論，計算邊長分別為5，12，13的三角形內切圓半徑；
（2）若四邊形ABCD存在內切圓（與各邊都相切的圓），如圖2且面積為S，各邊長分別為a，b，c，d，試推導四邊形的內切圓半徑公式；
（3）若一個n邊形（n為不小于3的整數）存在內切圓，且面積為S，各邊長分別為a₁，a₂，a₃，…，a_n，合理猜想其內切圓半徑公式（不需說明理由）．

Answer 1

分析：（1）根據題意，易得邊長分別為5，12，13的三角形為直角三角形，進而由直角三角形的性質可得答案；
（2）設四邊形ABCD內切圓的圓心為O，連接OA，OB，OC，OD，類比閱讀材料，可得S=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCA+S_△ODA，進而可得答案；
（3）由（1）（2）的結論，類比分析可得答案．

解答：解：（1）∵5²+12²=13²，
∴三角形為直角三角形（2分）
面積S=

1

2

×5×12=30，
∴r=

2×30

5+12+13

=2；（4分）

（2）設四邊形ABCD內切圓的圓心為O，連接OA，OB，OC，OD，
則S=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD+S_△ODA=

1

2

AB•r+

1

2

BC•r+

1

2

CD•r+

1

2

DA•r=

1

2

（a+b+c+d）•r，
∴r=

2s

a+b+c+d

；（8分）

（3）類比（1）（2）的結論，
易得在圓內切n邊形中，有r=

2s

a1+a2+…+an

成立．（10分）

點評：本題考查學生根據閱讀材料，結合課本的知識，分析、解決問題的能力．