Question

通過學習三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角正對（sad），如圖①，在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA=底邊/腰=．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據上述角的正對定義，解下列問題：

（1）sad60°=　     　．

（2）對于0°＜A＜180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是　        　．

（3）如圖②，已知sinA=，其中∠A為銳角，試求sadA的值．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）根據正對定義，

當頂角為60°時，等腰三角形底角為60°，

則三角形為等邊三角形，

則sad60°==1．                 

（2）當∠A接近0°時，sadα接近0，

當∠A接近180°時，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．

于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．          

（3）  如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=．

在AB上取點D，使AD=AC，作DH⊥AC，H為垂足，

令BC=3k，AB=5k，則AD=AC==4k，            

又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A=．

∴DH=ADsin∠A=k，AH==k．

則在△CDH中，CH=AC﹣AH=k，

CD==k．     

于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=k．

由正對的定義可得：sadA==，即sadα=． 

【解析】（1）根據等腰三角形的性質，求出底角的度數，判斷出三角形為等邊三角形，再根據正對的定義解答；

（2）求出0度和180度時等腰三角形底和腰的比即可；

（3）作出直角△ABC，構造等腰三角形ACD，根據正對的定義解答．