Question

通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角正對(duì)（sad），如圖①，在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對(duì)記作sadA，這時(shí)sadA=底邊/腰=

BC

AB

．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問題：
（1）sad60°=

 

．
（2）對(duì)于0°＜A＜180°，∠A的正對(duì)值sadA的取值范圍是

 

．
（3）如圖②，已知sinA=

3

5

，其中∠A為銳角，試求sadA的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出底角的度數(shù)，判斷出三角形為等邊三角形，再根據(jù)正對(duì)的定義解答；
（2）求出0度和180度時(shí)等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出直角△ABC，構(gòu)造等腰三角形ACD，根據(jù)正對(duì)的定義解答．

解答：解：（1）根據(jù)正對(duì)定義，
當(dāng)頂角為60°時(shí)，等腰三角形底角為60°，
則三角形為等邊三角形，
則sad60°=

1

1

=1．
故答案為：1．

（2）當(dāng)∠A接近0°時(shí)，sadA接近0，
當(dāng)∠A接近180°時(shí)，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．
于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．
故答案為0＜sadA＜2．

（3）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=

3

5

．
在AB上取點(diǎn)D，使AD=AC，連接CD，作DH⊥AC，H為垂足，令BC=3k，AB=5k，
 則AD=AC=

(5k)2-(3k)2

 =4k，
又在△ADH中，∠AHD=90°，sinA=

3

5

．
∴DH=ADsinA=

12

5

k，AH=

AD2-DH2

=

16

5

k．
則在△CDH中，CH=AC-AH=

4

5

k，CD=

DH2+CH2

=

4 10

5

k．
于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=

4 10

5

k．
由正對(duì)的定義可得：sadA=

CD

AD

=

10

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道新定義的題目，考查了正對(duì)這一新內(nèi)容，要熟悉三角函數(shù)的定義，可進(jìn)行類比解答．