Question

如圖．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分別于BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H．連接FH，求證：四邊形CFHE是菱形．

 

 

Answer 1

【答案】

證明：∵∠ACB=90°，AE平分∠BAC，EH⊥AB，∴CE=EH，

在Rt△ACE和Rt△AHE中，∵AE=AE，CE=EH，

∴Rt△ACE≌Rt△AHE（HL）。∴AC=AH。

∵AE平分∠CAB，∴∠CAF=∠HAF。

在△CAF和△HAF中，∵AC=AH，∠CAF=∠HAF，AF=AF，

∴△CAF≌△HAF（SAS）。∴∠ACD=∠AHF。

∵CD⊥AB，∠ACB=90°，∴∠CDA=∠ACB=90°。∴∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°。

∴∠ACD=∠B=∠AHF。∴FH∥CE。

∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴CF∥EH。

∴四邊形CFHE是平行四邊形。

∵CE=EH，∴四邊形CFHE是菱形。

【解析】

試題分析：求出CE=EH，AC=AH，證△CAF≌△HAF，推出∠ACD=∠AHF，求出∠B=∠ACD=∠FHA，推出HF∥CE，推出CF∥EH，得出平行四邊形CFHE，根據菱形判定推出即可。