Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中點，⊙O經過A、B、D三點，CB的延長線交⊙O于點E．
（1）求證：AE=CE；
（2）EF與⊙O相切于點E，交AC的延長線于點F，若CD=CF=2cm，求⊙O的直徑；
（3）若（n＞0），求sin∠CAB．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接DE，根據∠ABC=90°可知：AE為⊙O的直徑，可得∠ADE=90°，根據CD⊥AC，AD=CD，可證AE=CE；
（2）根據△ADE∽△AEF，可將AE即⊙O的直徑求出；
（3）根據Rt△ADE∽Rt△EDF，=n，可將DE的長表示出來，在Rt△CDE中，根據勾股定理可將CE的長表示出來，從而可將sin∠CAB的值求出．
解答：（1）證明：連接DE，
∵∠ABC=90°
∴∠ABE=90°
∴AE是⊙O直徑
∴∠ADE=90°
∴DE⊥AC
又∵D是AC的中點
∴DE是AC的垂直平分線
∴AE=CE；

（2）解：在△ADE和△EFA中，
∵∠ADE=∠AEF=90°，∠DAE=∠FAE
∴△ADE∽△EFA
∴
即
∴AE=2cm；

（3）解：∵AE是⊙O直徑，EF是⊙O的切線，
∴∠ADE=∠AEF=90°
∴Rt△ADE∽Rt△EDF
∴
∵，AD=CD
∴CF=nCD
∴DF=（1+n）CD
∴DE=CD
在Rt△CDE中，CE²=CD²+DE²=CD²+（CD）²=（n+2）CD²
∴CE=CD
∵∠CAB=∠DEC
∴sin∠CAB=sin∠DEC===．
點評：本題主要考查圓周角定理，切線的性質及相似三角形的性質和應用．