Question

（2010•西寧）（1）班同學上數學活動課，利用角尺平分一個角（如圖所示）．設計了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一個任意角，將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線．
（Ⅱ）∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線．
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，請證明；若不可行，請說明理由；
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情況下，繼續移動角尺，同時使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）方案（Ⅰ）中判定PM=PN并不能判斷P就是∠AOB的角平分線，關鍵是缺少△OPM≌△OPN的條件，只有“邊邊”的條件；
方案（Ⅱ）中△OPM和△OPN是全等三角形（三邊相等），則∠MOP=∠NOP，所以OP為∠AOB的角平分線；
（2）可行．此時△OPM和△OPN都是直角三角形，可以利用HL證明它們全等，然后利用全等三角形的性質即可證明OP為∠AOB的角平分線．
解答：解：（1）方案（Ⅰ）不可行．缺少證明三角形全等的條件，
∵只有OP=OP，PM=PN不能判斷△OPM≌△OPN；
∴就不能判定OP就是∠AOB的平分線；
方案（Ⅱ）可行．
證明：在△OPM和△OPN中，
，
∴△OPM≌△OPN（SSS），
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形對應角相等）；
∴OP就是∠AOB的平分線．

（2）當∠AOB是直角時，此方案可行；
∵四邊形內角和為360°，∠OMP=∠ONP=90°，∠MPN=90°，
∴∠AOB=90°，
∵PM=PN，
∴OP為∠AOB的平分線．（到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上），
當∠AOB不為直角時，此方案不可行；
因為∠AOB必為90°，如果不是90°，則不能找到同時使PM⊥OA，PN⊥OB的點P的位置．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，是一個開放性試題，可以提高學生解決實際的能力．