Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于M，交AC于N．

（1）若∠ABC=70°，則∠MNA的度數是 ．
（2）連接NB，若AB=8cm，△NBC的周長是14cm．
①求BC的長；
②在直線MN上是否存在P，使由P、B、C構成的△PBC的周長值最小？若存在，標出點P的位置并求△PBC的周長最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）50°
（2）解：①∵AN=BN，

∴BN+CN=AN+CN=AC，

∵AB=AC=8cm，

∴BN+CN=8cm，

∵△NBC的周長是14cm．

∴BC=14﹣8=6cm．

②∵A、B關于直線MN對稱，

∴連接AC與MN的交點即為所求的P點，此時P和N重合，

即△BNC的周長就是△PBC的周長最小值，

∴△PBC的周長最小值為14cm

【解析】解：（1）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=70°，

∴∠A=40°，

∵MN是AB的垂直平分線，

∴AN=BN，

∴∠ABN=∠A=40°，

∴∠ANB=100°，

∴∠MNA=50°；

故答案為50°．

（1）利用垂直平分線的性質和余角性質可求出結果；（2）利用垂直平分線的性質可轉化△NBC的周長為AC+BC,作差求出BC;利用對稱法，即B的對稱點為A，連接AC,交MN 于N,△PBC的周長最小值為14cm.