Question

如圖，已知半徑為2的⊙O有兩條互相垂直的弦AB和CD，其交點E到圓心O的距離為1，則AB²+CD²=

28

．

Answer 1

分析：作輔助線“連接AO，DO，作OM⊥CD于點M，作ON⊥AB于點N”構(gòu)造矩形ENOM，然后利用勾股定理和垂徑定理推知，OM²=DO²-DM²=4-（

DC

2

）2、ON²=OA²-AN²=4-（

AB

2

）2，所以O(shè)M²+ON²=4-（

AB

2

）2+4-（

DC

2

）2=1，由此解得AB²+CD²=28．

解答：解：連接AO，DO，作OM⊥CD于點M，作ON⊥AB于點N，
∵DC⊥AB，OM⊥DC，ON⊥AB，
∴四邊形OMEN為矩形；
∵OM²+ME²=OE²（勾股定理），
又∵ME²=ON²
∴OM²+ON²=OE²；
∵OM²=DO²-DM²=4-（

DC

2

）²；
又∵ON²=OA²-AN²=4-（

AB

2

）²，
∴OM²+ON²=4-（

AB

2

）²+4-（

DC

2

）²=1，
∴AB²+CD²=28．
故答案是：28．

點評：本題主要考查了的是垂徑定理和勾股定理．解得該題的關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)建矩形OMEN，利用勾股定理、矩形的性質(zhì)以及垂徑定理將 AB²+CD²聯(lián)系在同一個等式中，然后根據(jù)代數(shù)知識求解．