Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線經過點A（4，﹣3），頂點為點B，點P為拋物線上的一個動點，l是過點（0，2）且垂直于y軸的直線，過P作PH⊥l，垂足為H，連接PO．

（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點B的坐標；

（2）①當P點運動到A點處時，計算：PO= ，PH= ，由此發現，PO PH（填“＞”、“＜”或“=”）；

②當P點在拋物線上運動時，猜想PO與PH有什么數量關系，并證明你的猜想；

（3）如圖2，設點C（1，﹣2），問是否存在點P，使得以P，O，H為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），頂點B（0，1）；（2）①5，5=；②PO=PH；（3）P（1，）或（﹣1，）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數法即可解決問題．

（2）①求出PO、PH即可解決問題．

②結論：PO=PH．設點P坐標（m，），利用兩點之間距離公式求出PH、PO即可解決問題．

（3）首先判斷PH與BC，PO與AC是對應邊，設點P（m，），由列出方程即可解決問題．

試題解析：（1）解：∵拋物線經過點A（4，﹣3），∴﹣3=16a+1，∴a=，∴拋物線解析式為，頂點B（0，1）；

（2）①當P點運動到A點處時，∵PO=5，PH=5，∴PO=PH，故答案分別為：5，5=；

②結論：PO=PH．理由：設點P坐標（m，），∵PH=2﹣（）=，PO=，∴PO=PH；

（3）∵BC==，AC==，AB==，∴BC=AC，∵PO=PH，又∵以P，O，H為頂點的三角形與△ABC相似，∴PH與BC，PO與AC是對應邊，∴，設點P（m，），∴，解得m=±1，∴點P坐標（1，）或（﹣1，）．