Question

如圖，在正方形ABCD中，O是CD邊上的一點，以O為圓心，OD為半徑的半圓恰好與以B為圓心，BC為半徑的扇形的弧外切，則∠OBC的正弦值為

 

．

Answer 1

分析：設正方形的邊長是1，半圓的半徑是x．根據兩圓外切，則圓心距等于兩圓半徑之和表示OB的長，從而根據勾股定理求得x的值，進一步根據銳角三角函數的概念求解．

解答：解：設正方形的邊長是1，半圓的半徑是x．
則OB=1+x，OC=1-x．
在Rt△OBC中，根據勾股定理，得
（1+x）²=（1-x）²+1，
x=

1

4

．
則OB=

5

4

，OC=

3

4

．
則sin∠OBC=

OC

OB

=

3

5

．

點評：此題主要考查了相切兩圓的性質、勾股定理以及銳角三角函數的概念．