Question

（2005•太原）如圖，直線y=x+2與y軸交于點A，與x軸交于點B，⊙C是△ABO的外接圓（O為坐標原點），∠BAO的平分線交⊙C于點D，連接BD、OD．
（1）求證：BD=AO；
（2）在坐標軸上求點E，使得△ODE與△OAB相似；
（3）設點A′在OAB上由O向B移動，但不與點O、B重合，記△OA′B的內心為I，點I隨點A′的移動所經過的路程為l，求l的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直線y=x+2與y軸交于點A，與x軸交于點B，求出A（0，2），B（-2，0），利用勾股定理求出三角形ABO的邊，由邊的長度，可求出∠ABO=30°，∠BAO=60°，利用∠BAO的平分線交⊙C于點D，可求出∠ABO=30°=∠BAD，所以BD=AO；
（2）分兩種情況：①當∠ODE=90°時，點E的坐標為E₁（0，-4），E₂（-，0）；
②當∠OED=90°時，E₃（0，-1），E₄（-，0）；
（3）可設I為△OA'B的內心連接BI，利用動點I到定點D的距離為2，即點I的軌跡是以點D為圓心，2為半徑的弧OIB（不含點O、B），可求出弧OIB的長為，進而求出l的取值范圍．
解答：（1）證明：∵直線y=x+2與y軸交于點A，與x軸交于點B
∴A（0，2），B（-2，0），
∴OA=2，0B=2，AB=4，
∴∠ABO=30°，∠BAO=60°，
∵∠BAO的平分線交⊙C于點D，
∴∠ABO=30°=∠BAD，
∴BD=AO；

（2）解：
①當∠ODE=90°時，點E的坐標為E₁（0，-4），E₂（-，0）；
②當∠OED=90°時，E₃（0，-1），E₄（-，0）；
∴符合點E的坐標有四個；

（3）解：
如圖，設I為△OA'B的內心連接BI，連接BH，
∴∠A′BI=∠IBO，
∵BD=OD，∴∠BA′D=∠DBO，
∴∠A′BI+∠BA′D=∠IBO+∠OBD，即∠BID=∠IBD，
∴ID=BD，
∵BD=OA=2，∴ID=2，
∴動點I到定點D的距離為2，即點I的軌跡是以點D為圓心，2為半徑的弧OIB（不含點O、B），
弧OIB的長為，
則l的取值范圍是0＜l＜．
點評：本題需仔細分析題意，結合圖形，利用勾股定理和圓的性質即可解決問題．