Question

求使2ⁿ-1為7的倍數的所有正整數n．

Answer 1

因為2³=8≡1（mod7），所以對n按模3進行分類討論．
（1）若n=3k，則
2ⁿ-1=（2³）^k-1=8^k-1≡1^k-1=0（mod7）；
（2）若n=3k+1，則
2ⁿ-1=2•（2³）^k-1=2•8^k-1
≡2•1^k-1=1（mod7）；
（3）若n=3k+2，則
2ⁿ-1=2²•（2³）^k-1=4•8^k-1
≡4•1^k-1=3（mod7）．
所以，當且僅當3|n時，2ⁿ-1為7的倍數．