Question

2、求使2ⁿ-1為7的倍數的所有正整數n．

Answer 1

分析：先由2³=8除以7余1，即8≡1（mod7），分n是3的倍數和n除以3有余數分類討論，（1）n=3k時，則2ⁿ-1=（2³）^k-1=8^k-1≡1^k-1=0（mod7）．（2）n=3k+1或n=3k+2時，則2ⁿ-1=2•（2³）^k-1=2•8^k-1≡2•1^k-1=1（mod7）或2ⁿ-1=2²•（2³）^k-1=4•8^k-1≡4•1^k-1=
3（mod7）．所以得到使2ⁿ-1為7的倍數的所有正整數n為3|n．

解答：解：因為2³=8≡1（mod7），所以對n按模3進行分類討論．
（1）若n=3k，則
2ⁿ-1=（2³）^k-1=8^k-1≡1^k-1=0（mod7）；
（2）若n=3k+1，則
2ⁿ-1=2•（2³）^k-1=2•8^k-1
≡2•1^k-1=1（mod7）；
（3）若n=3k+2，則
2ⁿ-1=2²•（2³）^k-1=4•8^k-1
≡4•1^k-1=3（mod7）．
所以，當且僅當3|n時，2ⁿ-1為7的倍數．

點評：此題考查了學生對同余問題的認知和掌握，解答此題的關鍵是先由2³=8除以7余1，即8≡1（mod7），分n是3的倍數和n除以3有余數分類討論．