Question

（2012•佛山）（1）按語句作圖并回答：
作線段AC（AC=4），以A為圓心a為半徑作圓，再以C為圓心b為半徑作圓（a＜4，b＜4，圓A與圓C交于B、D兩點），連接AB、BC、CD、DA．
若能作出滿足要求的四邊形ABCD，則a、b應滿足什么條件？
（2）若a=2，b=3，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）根據題意畫出圖形，只有兩圓相交，才能得出四邊形，即可得出答案；
（2）連接BD，根據相交兩圓的性質得出DB⊥AC，BE=DE，設CE=a，則AE=4-a，根據勾股定理得出關于a的方程，求出a，根據三角形的面積公式求出即可．

解答：（1）解：
能作出滿足要求的四邊形ABCD，則a、b應滿足的條件是a＜4，b＜4，4＜a+b＜8且|a-b|＜4．

（2）解：連接BD，交AC于E，
∵⊙A與⊙C交于B、D，
∴AC⊥DB，BE=DE，
設CE=x，則AE=4-x，
∵由勾股定理得：BE²=3²-x²=2²-（4-x）²，
解得：x=

21

8

，
∴BE=

32-( 21 8 )2

=

3 15

8

，
則四邊形ABCD的面積是2×

1

2

×AC×BE=4×

3 15

8

=

3 15

2

，
答：四邊形ABCD的面積是

3 15

2

．

點評：本題考查了作圖-復雜作圖，相交兩圓的性質，勾股定理的應用，通過做此題培養了學生的動手操作能力和計算能力，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．