Question

某公司積極應對2008年世界金融危機，及時調整投資方向生產新產品，由于新產品開發初期成本高，且市場占有率不高等因素的影響，產品投產上市一年來，公司經歷了由初期的虧損到后來逐步盈利的過程（公司對經營的盈虧情況每月最后一天結算1次），公司累積獲得的利潤y（萬元）與銷售時間x（月）之間的函數關系（即前x個月的利潤總和y與x之間的關系）如圖所示，其中曲線OAB為拋物線的一部分，點A為該拋物線的頂點，BC是線段．
（1）求該公司累積獲得的利潤y（萬元）與時間x（月）之間的函數關系式；
（2）直接寫出x月份所獲得的利潤w（萬元）與時間x（月）之間的函數關系式；
（3）前12個月中，幾月份該公司所獲得的利潤最多？最多利潤是多少萬元？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意此拋物線的頂點坐標為（3，-40），設出拋物線的頂點式，把（0，0）代入即可求出a的值，把a的值代入拋物線的頂點式中即可確定出拋物線的解析式；
（2）相鄰兩個月份的總利潤的差即為某月利潤．
（3）根據前x個月內所獲得的利潤減去前x-1個月內所獲得的利潤，再減去16即可表示出第x個月內所獲得的利潤，為關于x的一次函數，且為增函數，得到x取最大為12時，把x=12代入即可求出最多的利潤．
解答：解：（1）根據題意可設：y=a（x-3）²-40，
當x=0時，y=0，所以a（0-3）²-40=0，
解得a=，
所求函數關系式為：y=（x-3）²-40；

（2）w=（x-3）²-40-[（x-1-3）²-40]=2x-5，

（3）設在前12個月中，第n個月該公司一個月內所獲得的利潤為s（萬元），
則有：y=（x-3）²-40-[（x-1-3）²-40]=2x-5，
因為s是關于n的一次函數，且2＞0，s隨著n的增大而增大，
而n的最大值為12，所以當n=12時，s=19，
所以第12月份該公司一個月內所獲得的利潤最多，最多利潤是19萬元．
點評：本題考查了二次函數的應用，主要考查學生會利用待定系數法求函數的解析式，靈活運用二次函數的圖象與性質解決實際問題，是一道綜合題．