Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD是斜邊AB上的高，點E在斜邊AB上，過點E作直線與△ABC的直角邊相交于點F，設AE=x，△AEF的面積為y．
（1）求線段AD的長；
（2）若EF⊥AB，當點E在線段AB上移動時，
①求y與x的函數關系式（寫出自變量x的取值范圍）
②當x取何值時，y有最大值？并求其最大值；
（3）若F在直角邊BC上（點F與B、C兩點均不重合），點E在斜邊AB上移動，試問：是否存在直線EF將△ABC的周長和面積同時平分？若存在直線EF，求出x的值；若不存在直線EF，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠ACB，
又∠CAD=∠CAD，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴=，即=，AD=．

（2）①由于E的位置不能確定，故應分兩種情況討論：
如圖A：當0＜x≤AD，即0＜x≤時，
∵EF⊥AB，
∴Rt△AEF∽Rt△ACB，即=，
∵AC=3，BC=4，AE=x，
∴=，EF=x，
S_△AEF=y=AE•EF=x•x=x²．
如圖B：當AD＜x≤AB，即＜x≤5時，
∵EF⊥AB，
∴Rt△BEF∽Rt△BCA，
∴=，
∵AE=x，△AEF的面積為y，=，
∴EF=，
y=×AE×EF=x•=-．
②當如圖A：當0＜x≤AD，即0＜x≤時，
S_△AEF=y=AE•EF=x•x=x²，當x=AD，即x=時，y_最大=×（）²=．
如圖B：當AD＜x≤BD，即＜x≤5時，
y=x×（5-x）=-，y_最大=，此時x=2.5＜5，故成立．
故y_最大=．

（3）不存在．
根據題意可知：直線EF把△ABC的周長分為相等的兩部分，
即AC+CF+AE=FB+EB，
又∵CF+FB=BC，
∴3+x+4-FB=FB+5-x，即FB=x+1，
∵sinB==，
∴EF=FB•sinB=（x+1），
又∵直線EF把△ABC的面積分為相等的兩部分，
∴S_△EFB=EB•FE=S_△ABC=3，
即（5-x）•（x+1）=3，
化簡得：x²-4x+5=0，
∵△=b²-4ac=16-20=-4＜0，
∴此方程無解，
故不存在x，直線EF將△ABC的周長和面積同時平分．
分析：（1）先根據勾股定理求出AB的長，再根據Rt△ADC∽Rt△ACB，利用其相似比即可求出AD的長；
（2）①分別根據x的取值范圍及三角形的面積公式分類可得x、y的函數關系式；
②根據①中所求的函數關系式求出其最值即可．
（3）先求得△ABC的面積的，進而得到△AEF得到面積的函數關系式，讓它等于3列式即可求解．
點評：此題比較復雜，是典型的動點問題，涉及面較廣，涉及到勾股定理、二次函數的最值及相似三角形的有關知識，綜合性較強．