Question

問題情境
如圖，在x軸上有兩點A（m，0），B（n，0）（n＞m＞0）．分別過點A，點B作x軸的垂線，交拋物線y=x²于點C、點D．直線OC交直線BD于點E，直線OD交直線AC于點F，點E、點F的縱坐標分別記為y_E，y_F．
特例探究
填空：
當m=1，n=2時，y_E=______，y_F=______；
當m=3，n=5時，y_E=______，y_F=______．
歸納證明
對任意m，n（n＞m＞0），猜想y_E與y_F的大小關系，并證明你的猜想．
拓展應用
（1）若將“拋物線y=x²”改為“拋物線y=ax²（a＞0）”，其他條件不變，請直接寫出y_E與y_F的大小關系；
（2）連接EF，AE．當S_{四邊形OFEB}=3S_△OFE時，直接寫y_E與y_F的大小關系及四邊形OFEA的形狀．

Answer 1

【答案】分析：【特例探究】【歸納證明】都是【拓展應用】（1）的特殊情況，因此以【拓展】（1）為例說明前三小問的思路：
已知A、B的坐標，根據拋物線的解析式，能得到C、D的坐標，進而能求出直線OC、OD的解析式，也就能得出E、F兩點的坐標，再進行比較即可．
最后一小題也比較簡單：總結前面的結論，能得出EF∥x軸的結論，那么四邊形OFEA的面積可分作△OEF、△OEA兩部分，根據給出的四邊形和△OFE的面積比例關系，能判斷出EF、OA的比例關系，進而得出m、n的比例關系，再對四邊形OFEA的形狀進行判定．
解答：解：【特例探究】
當m=1，n=2時，A（1，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（2，4）；
則：直線OC：y=x；直線OD：y=2x；
∴F（1，2）、E（2，2）；
即：y_E=y_F=2．
同理：當m=3，n=5時，y_E=y_F=15．

【歸納證明】
猜想：y_E=y_F；
證明：點A（m，0），B（n，0）（n＞m＞0）．
由拋物線的解析式知：C（m，m²）、D（n，n²）；
設直線OC的解析式：y=kx，代入點C的坐標：
km=m²，k=m
即：直線OC：y=mx；
同理：直線OD：y=nx．
∴E（n，mn）、F（m，mn）
即y_E=y_F．

【拓展應用】
（1）y_E=y_F．證法同（2），不再復述．
（2）綜合上面的結論，可得出E、F的縱坐標相同，即EF∥x軸，則四邊形ABEF是矩形；
∵S_{四邊形OFEB}=3S_△OFE，
∴（FE+OB）•BE=3×FE•BE，
∴OB=2FE，
∵四邊形ABEF是矩形，
∴FE=AB，
∴OA=OB-AB=2FE-FE=FE，
又∵EF∥x軸，
∴四邊形OFEA是平行四邊形．
點評：本題主要考查的是函數解析式的確定、圖形面積的解法、四邊形的判定等知識，綜合性較強，由淺入深的引導方式進一步降低了題目的難度，對于基礎知識的掌握是解題的關鍵．