Question

如圖，AD是⊙O的弦，AB經過圓心O，交⊙O于點C．∠DAB=∠B=30°．
（1）直線BD是否與⊙O相切？為什么？
（2）連接CD，若CD=5，求AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，通過計算得到∠ODB=90°，證明BD與⊙O相切．
（2）△OCD是邊長為5的等邊三角形，得到圓的半徑的長，然后求出AB的長．
解答：解：（1）直線BD與⊙O相切．理由如下：
如圖，連接OD，
∵∠DAB=∠B=30°，∴∠ADB=120°，
∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=30°，
∴∠ODB=∠ADB-∠ODA=120°-30°=90°．
所以直線BD與⊙O相切．

（2）連接CD，
∠COD=∠OAD+∠ODA=30°+30°=60°，
又OC=OD
∴△OCD是等邊三角形，
即：OC=OD=CD=5=OA，
∵∠ODB=90°，∠B=30°，
∴OB=10，
∴AB=AO+OB=5+10=15．
點評：本題考查的是切線的判斷，（1）根據切線的判斷定理判斷BD與圓相切．（2）利用三角形的邊角關系求出線段AB的長．